Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，向量

AB

，

AC

，

AA1

两两垂直，|

AC

|=1，|

AB

|=2，E，F分别为棱BB₁，BC的中点，且

CB1

•

A1E

=0．
（Ⅰ）求向量

AA1

的模；
（Ⅱ）求直线AA₁与平面A₁EF所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,直线与平面所成的角

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）分别以AC，AB，AA₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A₁（0，0，z），得到

CB1

•

A1E

=4-

z2

2

=0，解出即可．
（Ⅱ）分别求出

AA1

，

A1F

，

A1E

的坐标，设平面A₁EF的法向量

n

=（x，y，z），得到方程组，求出一个

n

，从而求出直线AA₁与平面A₁EF所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）分别以AC，AB，AA₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图示：
，
∴C（1，0，0），B（0，2，0），F（1，1，0），
设A₁（0，0，z），则E（0，2，

z

2

），B₁（0，2，z），
∴

CB1

=（-1，2，z），

A1E

=（0，2，-

z

2

），
∴

CB1

•

A1E

=4-

z2

2

=0，解得：z=2

2

，
∴|

AA1

|=2

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

AA1

=（0，0，2

2

），

A1F

=（1，1，-2

2

），

A1E

=（0，2，-

2

），
设平面A₁EF的法向量

n

=（x，y，z），
∴

x+y-2 2 z=0 2y- 2 z=0

，令z=2，
∴

n

=（3

2

，

2

，2），
设直线AA₁与平面A₁EF所成的角为θ，
∴sinθ=

AA1 • n

| AA1 |•| n |

=

4 2

2 2 •2 6

=

6

6

．

点评：本题考查了平面向量的数量积的运算及应用，考查了线面角问题，是一道中档题．