Question

已知{a_n}是等差数列，{b_n}是各项为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13．
（1）求通项公式{a_n}和{b_n}；
（2）若c_n=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S_n．

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0，
由已知得，

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

，解得d=2，q=2．
∴a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）c_n=

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
Sn=

1

20

+

3

21

+

5

22

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，①

1

2

Sn=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，②
①-②得：

1

2

Sn=1+2(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n

=1+2•

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

．
∴Sn=2-

1

2n-3

-

2n-1

2n-1

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．