Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）．
（1）若f（x）在[0，1]上为单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数在对称区间上具有相同的单调性，然后利用函数在x∈[-1，0）时为增函数得到含有a的不等式，即a＞

2x1+2x2

2x12x2

=

1

2x1

+

1

2x2

，结合-1≤x₁＜x₂＜0即可求得a的范围；
（2）由f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数求得a=1，得到函数在[0，1]上的解析式，换元后利用配方法求得函数的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且x∈[-1，0）时，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）．
∴要使f（x）在[0，1]上为单调增函数，则x∈[-1，0）时，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）为得到增函数，
设-1≤x₁＜x₂＜0，
则f(x1)-f(x2)=

1

4x1

-

a

2x1

-

1

4x2

+

a

2x2

=

4x2-a•2x1•4x2-4x1+a•2x2•4x1

4x1•4x2

=

(2x2-2x1)(2x1+2x2-a•2x12x2)

4x14x2

＜0，
∴2x1+2x2＜a•2x12x2，
即a＞

2x1+2x2

2x12x2

=

1

2x1

+

1

2x2

，
∵-1≤x₁＜x₂＜0，
∴

1

2x1

，

1

2x2

∈(1，2]，
∴

1

2x1

+

1

2x2

＜4，
则a≥4；
（2）∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f(0)=

1

40

-

a

20

=0，解得a=1，
即当x∈[-1，0]时的解析式f（x）=

1

4x

-

1

2x

，
当x∈[0，1]时，-x∈[-1，0]，
∴f（x）=-f（-x）=-(

1

4-x

-

1

2-x

)=2x-4x．
令t=2^x（t∈[1，2]）
则2^x-4^x=t-t²，
令y=t-t²（t∈[1，2]），
则可得当t=1时，y有最大值0，
∴f（x）在[0，1]上的最大值为0．

点评：本题考查了函数单调性和奇偶性的性质，训练了函数单调性的证明方法，考查了函数解析式的求法，训练了利用换元法和配方法求函数的最值，是中档题．