Question

已知函数f（x）=

2

sin（π-x）-

2

cosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）若函数f（x）的图象过点（a，

8

5

），

π

4

＜a＜

3π

4

，求f（

π

4

+a）的值．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）将函数f（x）=

2

sin（π-x）-

2

cosx转化为f（x）=2sin（x-

π

4

），函数f（x）的最小正周期和值域可求；
（2）将（a，

8

5

）代入f（x）=2sin（x-

π

4

），可得sin（α-

π

4

）=

4

5

，根据

π

4

＜a＜

3π

4

，可求cos（α-

π

4

），f（

π

4

+α）=2sinα=2sin[（α-

π

4

）+

π

4

]，利用两角和的正弦公式可使问题得到解决．

解答： 解：（1）f（x）=

2

sin（π-x）-

2

cosx=

2

sinx-

2

cosx=2sin（x-

π

4

）．
故有T=

2π

1

=2π．
由2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，可得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，k∈Z
故单调增区间为[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈Z
（2）依题意得：2sin（α-

π

4

）=

8

5

，sin（α-

π

4

）=

4

5

，
∵

π

4

＜a＜

3π

4

．∴0＜α-

π

4

＜

π

2

，∴cos（α-

π

4

）=

1-sin2(α- π 4 )

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

，
∵f（

π

4

+α）=2sin[（α-

π

4

）+

π

4

]
∵sin[（α-

π

4

）+

π

4

]=sin（α-

π

4

）cos

π

4

+cos（α-

π

4

）sin

π

4

=

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

=

7 2

10

∴f（

π

4

+α）=

7 2

5

．

点评：本题考查正弦函数性质，解决的方法灵活，侧重拼凑角的方法，考查两角和的正弦公式的应用，属于中档题．