Question

15．已知函数y=$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$+ax-5，若函数在[1，+∞）上总是单调函数，则a的取值范围a≥-3．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由题意可得，y′=x²+2x+a在[1，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0．利用二次函数的单调性求得y=-x²-2x在[1，+∞）上有最大值-3，无最小值．由此求得a的取值范围．

解答 解：由y=$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$+ax-5，得y′=x²+2x+a，
∵函数在[1，+∞）上总是单调函数，
∴y′=x²+2x+a在[1，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0．
若x²+2x+a≥0在[1，+∞）上恒成立，则a≥-x²-2x在[1，+∞）上恒成立，
若x²+2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立，则a≤-x²-2x在[1，+∞）上恒成立，
∵函数y=-x²-2x的对称轴方程为x=-1，且开口向下，则y=-x²-2x在[1，+∞）上为单调减函数，有最大值-3，无最小值．
∴a≥-3．
故答案为：a≥-3．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用分离参数法求解恒成立问题，是中档题．