Question

19．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$|\overrightarrow a|$=1，|$\overrightarrow b$|=2，$（3\overrightarrow a-\overrightarrow b）$⊥$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，则向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow b$夹角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由$（3\overrightarrow a-\overrightarrow b）$⊥$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，得$（3\overrightarrow a-\overrightarrow b）$•$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$=0，展开后代入数量积公式得答案．

解答 解：∵$|\overrightarrow a|$=1，|$\overrightarrow b$|=2，
∴由$（3\overrightarrow a-\overrightarrow b）$⊥$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，得$（3\overrightarrow a-\overrightarrow b）$•$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$=$3|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$．
即$3+2×1×2×cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞-4=0$，解得cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞$\frac{1}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是中档题．