Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（Ⅰ）求四面体D₁-AB₁C的左视图的面积；
（Ⅱ）求四面体D₁-AB₁C的体积．

Answer 1

考点：简单空间图形的三视图,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）分别作点A，D₁在平面BCC₁B₁内的投影，即得左视图，从而得其面积；
（2）将四面体D₁-AB₁C看作是一个三棱锥，把正方体的体积分割成五部分，所求体积为正方体体积与四个三棱锥的体积之差．

解答： 解：（Ⅰ）点D₁在平面BCC₁B₁内的投影为点C₁，点A在平面BCC₁B₁内的投影为点B，
所以四面体D₁-AB₁C的左视图是一个与正方形BCC₁B₁全等的正方形，其面积为1．  
（Ⅱ）∵VB-B1AC=VA1-AB1D1=VD-D1AC=VC1-B1D1C=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

，
∴四面体D₁-AB₁C的体积为VD1-AB1C=VABCD-A1B1C1D1-4VB-B1AC=13-4×

1

6

=

1

3

．

点评：本题考查学生的空间想象力与化归思想的运用，三棱锥（或四面体）的体积计算公式，体积分割法处理体积问题等，题目较容易．平时应掌握一些常见的几何模型，如三棱锥（或四面体）、正方体的特征，体积与面积的计算方法等．