Question

已知函数f（x）=ax+

b

x

在（1，f（1））处的切线斜率为1，g（x）=lnx-f（x），
（1）求a，b之间的关系式；
（2）若关于x的不等式g（x）+ax＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）已知a＞0，且a≠

1

2

，求函数y=g（x）在[1，+∞）上的最大值（用a表示）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）由已知函数f（x）=ax+

b

x

在（1，f（1））处的切线斜率为1，可得f′（1）=a-b=1；
（2）若g（x）+ax=lnx-

b

x

＞0恒成立，即lnx＞

b

x

恒成立，即b＜x•lnx恒成立，构造函数h（x）=x•lnx，利用导数法，求出函数的最小值，可得答案．
（3）g′（x）=0，则x=1，或x=

1-a

a

，由a＞0，且a≠

1

2

，分当0＜a＜

1

2

时和当a＞

1

2

时两种情况分析函数的单调性进而可和函数y=g（x）在[1，+∞）上的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax+

b

x

，
∴f′（x）=a-

b

x2

，
又∵f（x）=ax+

b

x

在（1，f（1））处的切线斜率为1，
∴f′（1）=a-b=1，
（2）∵g（x）=lnx-f（x）=lnx-ax-

b

x

，
若g（x）+ax=lnx-

b

x

＞0恒成立，
即lnx＞

b

x

恒成立，
即b＜x•lnx恒成立，
令h（x）=x•lnx，
则h′（x）=lnx+1，
令h′（x）=0，则x=

1

e

，
当x∈（0，

1

e

）时，h′（x）＜0，此时h（x）单调递减；
当x∈（

1

e

，+∞）时，h′（x）＞0，此时h（x）单调递增；
故当x=

1

e

时，h（x）=x•lnx取最小值-

1

e

，
故b＜-

1

e

，
即a-1＜-

1

e

，
即a＜1-

1

e

，
即实数a的取值范围为（-∞，1-

1

e

），
（3）∵g（x）=lnx-f（x）=lnx-ax-

b

x

，
∴g′（x）=

1

x

-a+

b

x2

=

-ax2+x+b

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

=

(ax+a-1)(-x+1)

x2

，
令g′（x）=0，则x=1，或x=

1-a

a

∵a＞0，且a≠

1

2

，
当0＜a＜

1

2

时，

1-a

a

＞1，
当x∈[1，

1-a

a

）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当x∈（

1-a

a

，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
故当x=

1-a

a

时，g（x）取最大值ln

1-a

a

-1，
当a＞

1

2

时，

1-a

a

＜1，
当x∈[1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
故当x=1时，g（x）取最大值1-2a

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用函数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，是导数部分的综合应用，难度中档．