Question

设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8在x=1及x=2时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，3]，求函数f（x）的最值．
（Ⅲ）若对x∈[0，3]，不等式f（x）＜m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数的运算法则可得：f′（x）=6x²+6ax+3b，由于函数f（x）在x=1及x=2时取得极值．可知：1，2是方程f′（x）=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得，再进行验证即可；
（II）列出表格，利用导数与函数单调性的关系，即可得出极值与最值；
（III）对x∈[0，3]，不等式f（x）＜m恒成立?m＞[f（x）]_max，由（II）即可得出．

解答： 解：（I）f′（x）=6x²+6ax+3b，
∵函数f（x）在x=1及x=2时取得极值．
∴1，2是方程f′（x）=0的两个实数根，
∴1+2=-a，1×2=

b

2

，解得a=-3，b=4．
经验证a=-3，b=4满足条件．
∴a=-3，b=4．
（II）由（I）可得：f（x）=2x³-9x²+12x+8．
f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
列出表格：

x	[0，1）	1	（1，2）	2	（2，3]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值，f（1）=13，又f（3）=17，∴函数f（x）的最大值为17；当x=2时，函数f（x）取得极小值，f（2）=12，又f（0）=8，∴函数f（x）的最小值为8．
综上可得：当x=3时，函数f（x）取得最大值17；当x=0时，函数f（x）取得最小值8．
（III）对x∈[0，3]，不等式f（x）＜m恒成立?m＞[f（x）]_max，由（II）可得：函数f（x）的最大值为17，∴m＞17．
∴m的取值范围是（17，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．