Question

4．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且$\sqrt{2}$sinA=$\sqrt{3cosA}$．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）将$\sqrt{2}$sinA=$\sqrt{3cosA}$．两边平方，可解得：cosA=$\frac{1}{2}$，又0$＜A＜\frac{π}{2}$，可求A，利用已知及余弦定理即可得解m的值．
（2）利用余弦定理及基本不等式可得bc=b²+c²-a²≥2bc-a²，（当且仅当b=c时取等号）即bc≤a²，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）将$\sqrt{2}$sinA=$\sqrt{3cosA}$．两边平方，可得：2sin²A=3cosA，
即：（2cosA-1）（cosA+2）=0，解得：cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，
∴A=60°．
∵a²-c²=b²-mbc，可以变形可得：$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{m}{2}$，即cosA=$\frac{m}{2}=\frac{1}{2}$，
∴m=1．…6分
（2）∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴bc=b²+c²-a²≥2bc-a²，（当且仅当b=c时取等号）即bc≤a²，
∴S_△ABC=$\frac{bc}{2}$sinA≤$\frac{{a}^{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．