Question

12．某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练及考核，若每个学生身体体能考核合格的概率是$\frac{1}{2}$，外语考核合格的概率是$\frac{2}{3}$，若每一次考试是否合格互不影响．
（1）求学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．
（2）设学生甲不放弃每一次考核的机会，求学生甲恰好补考一次的概率．

Answer 1

分析 （1）分别求出两个项目都不补考能通过概率、两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率和两个项目都要补考才能通过的概率，由此能求出学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．
（2）恰好补考一次记为ξ=1，由相互独立事件乘法概率计算公式能求出学生甲恰好补考一次的概率．

解答 解：（1）①两个项目都不补考能通过概率：${P_1}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：${P_2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{5}{18}$
③两个项目都要补考才能通过的概率：${P_2}=（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{18}$，
∴学生甲体能考核与外语考核都合格的概率：
$P={P_1}+{P_2}+{P_3}=\frac{2}{3}$
（2）恰好补考一次记为ξ=1，
则学生甲恰好补考一次的概率：
$P（ξ=1）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{7}{12}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．