Question

19．如图，已知圆O的内接四边形BCED，BC为圆O的直径，BC=2，延长CB，ED交于A点，使得∠DOB=∠ECA，过A作圆O的切线，切点为P，
（1）求证：BD=DE；
（2）若∠ECA=45°，求AP²的值．

Answer 1

分析 （1）连结OE，由已知得CE∥OD，从而∠BOD=∠EOD，由此能证明BD=DE．
（2）推导出∠COE=90°，CE=$\sqrt{2}$，OD=1，AB=$\sqrt{2}$，由此利用切割线定理能求出AP²．

解答 证明：（1）连结OE，∵圆O的内接四边形BCED，BC为圆O的直径，
BC=2，延长CB，ED交于A点，使得∠DOB=∠ECA，
∴CE∥OD，∴∠CEO=∠EOD，
∵CO=EO，∴∠OCE=∠OEC，
∴∠BOD=∠EOD，
∴BD=DE．
解：（2）∵∠ECA=45°，BC为圆O的直径，BC=2，
∴∠COE=90°，∴CE=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，OD=1，
∵OD∥CE，∴$\frac{OD}{CE}=\frac{AB+1}{AB+2}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得AB=$\sqrt{2}$，
∵过A作圆O的切线，切点为P，
∴AP²=AB•（AB+2）=$\sqrt{2}（\sqrt{2}+2）$=2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线段长相等的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．