Question

4．四棱锥A-BCDE，底面BCDE为梯形，EB∥DC，DC⊥平面ABC，AC=BC=EB=2DC，∠ACB=90°，AD与平面ABE所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 利用线面、面面垂直的判定和性质定理得到CQ⊥平面ABE，再利用DP∥CQ可证明DP⊥平面ABE，从而得到∠DAP是所求的线面角．

解答 解：设P，Q分别为AE，AB的中点，
则PQ∥EB，且EB=2PQ，
∴四边形DCQP是平行四边形，
∴DP∥CQ

设在△ABC中，AC=BC=2a，AQ=BQ，
∴CQ⊥AB．
而DC⊥平面ABC，EB∥DC，
∴EB⊥平面ABC．
而EB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面ABC，
∴CQ⊥平面ABE
∴DP⊥平面ABE，
∴直线AD在平面ABE内的射影是AP，
∴直线AD与平面ABE所成角是∠DAP．
在Rt△APD中，AD=$\sqrt{{AC}^{2}+{DC}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
DP=CQ=2asin∠CAQ=2sin30°=a．
∴sin∠DAP=$\frac{DP}{AD}$=$\frac{a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选：B．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法．解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题，注意空间思维能力和推理能力的培养