Question

14．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{y≤2}\end{array}\right.$，则目标函数z=x²+y²的取值范围是[2，13]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，z=x²+y²可看作可行域内的点到原点的距离的平方，数形结合求得目标函数z=x²+y²的取值范围．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{y≤2}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$．
z=x²+y²可看作可行域内的点到原点的距离的平方，从而有
${z}_{min}=（\frac{|0+0-2|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}）^{2}=2$，${z}_{max}={3}^{2}+{2}^{2}=13$，
∴z∈[2，13]．
故答案为：[2，13]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．