Question

求函数y=

x-2

x2-2x+4

（x∈R）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：将函数解析式整理得到y=

x-2

(x-2)2+2(x-2)+4

，再利用基本不等式即可得到函数y=

x-2

x2-2x+4

（x∈R）的值域．

解答： 解：由于y=

x-2

x2-2x+4

=

x-2

(x-2)2+2(x-2)+4

，（x∈R），
则①当x=2时，y=0；
②当x≠2时，y=

x-2

(x-2)2+2(x-2)+4

=

1

(x-2)+ 4 x-2 +2

（i）当x＞2时，x-2＞0，则(x-2)+

4

x-2

≥2

4

=4，则0＜y≤

1

6

，
（ii）当x＜2时，x-2＜0，则(x-2)+

4

x-2

=-[(2-x)+

4

2-x

]≤-2

4

=-4，则-

1

2

≤y＜0，
综上可知，函数y=

x-2

x2-2x+4

（x∈R）的值域为[-

1

2

，

1

6

]．

点评：考查函数值域的求法，解决本题时易忽视函数的有界性，要仔细区别，防止出错．