Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴直线x=-1交x轴于点E，点D为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且S_△PAC=2S_△DAC，求点P的坐标；
（3）点M是第一象限内抛物线上一点，且∠MAC=∠ADE，求点M的坐标．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知中点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴为直线x=-1，构造关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得抛物线的解析式；
（2）由已知中AC坐标，可求出线段AC的长，及D到AC的距离，进而根据S_△PAC=2S_△DAC，求出P点到AC的距离，代入点到直线距离公式，可得点P的坐标；
（3）过点C作CH⊥DE交DE于点H，设AC交对称轴于点G，AM交y轴于点N，由∠MAC=∠ADE，可得N点坐标，进而求出CN的方程，联立直线与抛物线方程可得M点坐标．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、点，与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，3），抛物线的对称轴为直线x=-1，
故

c=3 9a-3b+c=0 - b 2a =-1

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
∴y=-x²-2x+3；
（2）由点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，3）可得直线AC的方程为x-y+3=0，AC=3

2

，
由y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4可得：D点坐标为（-1，4），
故D到直线AC的距离为：

|-1-4+3|

2

=

2

，
故S_△PAC=2S_△DAC=6，
则P到直线AC的距离为2

2

，
设P点坐标为（a，-a²-2a+3），
则

|a+a2+2a-3+3|

2

=2

2

，
即a²+3a-4=0，解得a=-4，或a=1，
故P点坐标为（-4，-5）或（1，0）；
（3）D（-1，4），C（0，3），E（-1，0），
过点C作CH⊥DE交DE于点H，
∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°，
∴CD=

2

，AC=3

2

，△ACD为直角三角形，且tan∠DAC=

1

3

．
设AC交对称轴于点G，AM交y轴于点N，
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO，
∴tan∠MAO=

1

3

．
∵A（-3，0），
∴ON=1，即N（0，1）．
∴直线NA解析式为y=

1

3

x+1，
联立方程

y= 1 3 x+1 y=-x2-2x+3

得：x=-3（舍），或x=

2

3

，
∴点M的坐标为（

2

3

，

11

9

）

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，点到直线的距离，是二次函数与解析几何知道的综合应用，难度较大．