Question

科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响．环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2013年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨（m＞0）．
（Ⅰ）求A市2015年的碳排放总量（用含m的式子表示）；
（Ⅱ）若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据，A市2013年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨，即可求A市2015年的碳排放总量（用含m的式子表示）；
（Ⅱ）求出数列的通项，A市永远不需要采取紧急限排措施，则有?n∈N^*，a_n≤550，分类讨论，即可求m的取值范围．

解答： 解：设2014年的碳排放总量为a₁，2015年的碳排放总量为a₂，…
（Ⅰ）由已知，a₁=400×0.9+m，
a2=0.9×(400×0.9+m)+m=400×0.92+0.9m+m=324+1.9m．（3分）
（Ⅱ）a3=0.9×(400×0.92+0.9m+m)+m=400×0.9³+0.9²m+0.9m+m，
…an=400×0.9n+0.9n-1m+0.9n-2m+…0.9m+m
=400×0.9n+m

1-0.9n

1-0.9

=400•0.9n+10m(1-0.9n)=（400-10m）•0.9ⁿ+10m．（7分）
由已知有?n∈N^*，a_n≤550
（1）当400-10m=0即m=40时，显然满足题意；
（2）当400-10m＞0，即m＜40时，
由指数函数的性质可得：（400-10m）×0.9+10m≤550，解得m≤190．
综合得m＜40；
（3）当400-10m＜0即m＞40时，
由指数函数的性质可得：10m≤550，解得m≤55，综合得40＜m≤55．
综上可得所求范围是m∈（0，55]．（13分）

点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查数列知识，考查解不等式，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．