Question

已知p：函数f（x）=x²-2mx+4在[2，+∞）上单调递增；q：关于x的不等式mx²+4（m-2）x+4＞0的解集为R．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系即可求出命题p，q为真命题时m的取值范围．根据p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p真q假或p假q真，求出这两种情况下m的范围并求并集即可．

解答： 解：若命题p为真，因为函数f（x）的对称轴为x=m，则m≤2；
若命题q为真，当m=0时原不等式为-8x+4＞0，该不等式的解集不为R，即这种情况不存在；
当m≠0时，则有

m＞0 △=16(m-2)2-16m＜0

，解得1＜m＜4；
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假；
故

m≤2 m≤1或m≥4

或

m＞2 1＜m＜4

解得m≤1或2＜m＜4；
∴m的取值范围为（-∞，1]∪（2，4）．

点评：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，一元二次不等式解的情况和判别式的关系，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．