Question

函数y=f（x）为奇函数，且x∈[0，+∞）时，f（x）=x²-3x，则不等式

f(x)-f(-x)

x

＞0的解集为

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：求出f（x）=

x2-3x，x≥0 -x2-3x，x＜0

，转为

2f(x)

x

＞0，即

x≥0 2(x-3)＞0

或

x＜0 2(-x-3)＞0

求解即可．

解答： 解：∵函数y=f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∵x∈[0，+∞）时，f（x）=x²-3x，
∴设x＜0，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-[x²+3x]=-x²-3x，（x＜0）
∴f（x）=

x2-3x，x≥0 -x2-3x，x＜0

∵不等式

f(x)-f(-x)

x

＞0，
∴

2f(x)

x

＞0，
∴

x≥0 2(x-3)＞0

或

x＜0 2(-x-3)＞0

即x＞3或x＜-3，
故答案为：（-∞，-3）∪（3，+∞）

点评：本题考查了函数的性质，解析式的求解，不等式的求解，属于中档题．