题目内容
设定义域为R的函数f（x）=
为偶函数，其中a为实常数．
（1）求a的值；
（2）求函数y=f（x）的值域．
| 2x+1 |
| a+4x |
（1）求a的值；
（2）求函数y=f（x）的值域．
考点：函数奇偶性的判断,函数的值域
专题：函数的性质及应用
分析：（1）由题意可得f（-1）=f（1），解关于a的方程可得；
（2）由（1）知f（x）=
，由基本不等式可得
+2x≥2，由不等式的性质可得函数值域．
（2）由（1）知f（x）=
| 2 | ||
|
| 1 |
| 2x |
解答：
解：（1）∵定义域为R的函数f（x）=
为偶函数，
∴f（-1）=f（1），即
=
，解得a=1
∴a的值为1；
（2）由（1）知f（x）=
=
=
，
由基本不等式可得
+2x≥2
=2，
当且仅当
=2x即x=0时取等号，
∴f（x）=
∈（0，
]
∴函数y=f（x）的值域为：（0，
]
| 2x+1 |
| a+4x |
∴f（-1）=f（1），即
| 2-1+1 |
| a+4-1 |
| 21+1 |
| a+41 |
∴a的值为1；
（2）由（1）知f（x）=
| 2x+1 |
| 1+4x |
| 2•2x |
| 1+(2x)2 |
| 2 | ||
|
由基本不等式可得
| 1 |
| 2x |
|
当且仅当
| 1 |
| 2x |
∴f（x）=
| 2 | ||
|
| 1 |
| 2 |
∴函数y=f（x）的值域为：（0，
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查函数的奇偶性，涉及函数值域和基本不等式，属中档题．
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函数y=
的定义域为M，值域为N，则M∩N=（ ）
| 3x-2 |
| A、M | ||
| B、（1，+∞） | ||
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| ||
| D、N |
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