Question

如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．
（1）将y表示成θ的函数；
（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,函数解析式的求解及常用方法,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）由几何图形结合解直角三角形知识将y表示成θ的函数；
（2）直接由矩形面积等于长乘宽列出面积关于θ的表达式，结合三角函数的化简与求值得答案．

解答： 解：（1）如图，
由∠BAE=θ，∠E=90°，得∠ABE=90°-θ，
再由∠ABC=90°，得∠CBF=θ，同理∠DCG=θ．
由AB=40（米），BC=30（米），四边形ABCD为矩形，得DC=40（米），
因此，EF=EB+BF=40sinθ+30cosθ（米），
因此y=40sinθ+30cosθ（0°＜θ＜90°）；
（2）SEFGH=EF•FG=1200sin2θ+1200cos2θ+2500sinθcosθ
=1200+1250sin2θ，（0°＜θ＜90°）．
因此θ=45°时，S_EFGH取到最大值，最大值为2450．
因此，矩形区域EFGH的面积的最大值为2450平方米．

点评：本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了三角函数的化简与求值，正确将y表示成θ的函数是解答该题的关键，是中档题．