Question

如图所示，在直角三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠ABC=90°，M、N分别为B₁B、A₁C₁的中点．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面B₁BC；
（2）求证：MN∥平面ABC₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）根据直三棱柱的性质，利用面面垂直性质定理证出AB⊥平面BB₁C₁，得出AB⊥CB₁．正方形BCC₁B₁中，对角线CB₁⊥BC₁，由线面垂直的判定定理可证出CB₁⊥平面ABC₁；
（II）取AC₁的中点F，连BF、NF，利用三角形中位线定理和平行四边形的性质，证出EF∥BM且EF=BM，从而得到BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，结合线面平行判定定理即可证出MN∥面ABC₁．

解答： 解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
侧面BB₁C₁C⊥底面ABC，且侧面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AB⊥平面BB₁C₁   　　　　　　 　　…（2分
∵CB₁?平面BB₁C₁C，∴AB⊥CB₁．…（4分）
∵BC=CC₁，CC₁⊥BC，∴BCC₁B₁是正方形，
∴CB₁⊥BC₁，
∵AB∩BC₁=B，∴CB₁⊥平面ABC₁，
CB₁?平面B₁BC；
∴平面ABC₁⊥平面B₁BC；
（Ⅱ）取AC₁的中点F，连BF、NF．…（7分）如图
在△AA₁C₁中，N、F是中点，
∴NF∥AA₁，NF=

1

2

AA1
又∵正方形BCC₁B₁中，BM∥AA₁，BM=

1

2

AA1
∴NF∥BM，且NF=BM…（8分）
故四边形BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，…（10分）
∵BF?面ABC₁，MN?平面ABC₁，
∴MN∥面ABC₁…（12分）

点评：本题给出底面为直角三角形的直三棱柱，在已知侧棱与底面直角边长相等的情况下证明线面垂直．着重考查了空间直线与平面平行、垂直的判定与性质等知识，属于中档题．