Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上点M（3，m）到焦点F的距离为4．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）点P为准线上任意一点，AB为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线PA，PB，PF的斜率为k₁，k₂，k₃，问是否存在实数λ，使得k₁+k₂=λk₃恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：存在型,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出p，从而得到方程；
（Ⅱ）求出焦点和准线，设出直线AB，联立方程，消去x得到y的方程，运用韦达定理，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（-1，t），运用斜率公式，化简整理，注意点在抛物线上，且全部转化为y的式子，即可判断．

解答： 解：（I）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为（

p

2

，0），准线为x=-

p

2

，
由抛物线的定义可知：4=3+

p

2

，p=2
∴抛物线方程为y²=4x；
（II）由于抛物线y²=4x的焦点F为（1，0），准线为x=-1，
设直线AB：x=my+1，与y²=4x联立，消去x，整理得：
y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（-1，t），有

y1+y2=4m y1y2=-4

易知k3=-

t

2

，而k1+k2=

y1-t

x1+1

+

y2-t

x2+1

=

(x2+1)(y1-t)+(x1+1)(y2-t)

(x1+1)(x2+1)

=

( y 2 2 4 +1)(y1-t)+( y 2 1 4 +1)(y2-t)

( y 2 1 4 +1)( y 2 2 4 +1)

=

-t(4m2+4)

4m2+4

=-t=2k₃
∴存在实数λ=2，使得k₁+k₂=λk₃恒成立．

点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义、性质和方程，同时考查联立方程，运用韦达定理，运用斜率公式，考查运算化简能力，是一道中档题．