题目内容
已知椭圆的中心在原点．离心率为
，一个焦点F（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆上一点，过F，Q的直线l与y轴交于点M，若|
|=2|
|，求直线l的斜率．
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆上一点，过F，Q的直线l与y轴交于点M，若|
| MQ| |
| QF |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）设椭圆方程为
+
=1，（a＞b＞0）由题意，得
，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由|
|=2|
|，知
=2
，或
=2
，当
=2
时，xQ=-
，yQ=
，能求出k=±2
．当
=2
时，xQ=-2，yQ=0，此时k=0．由此能求出直线l的斜率．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
|
（Ⅱ）由|
| MQ| |
| QF |
| MQ |
| QF |
| MQ |
| FQ |
| MQ |
| QF |
| 2 |
| 3 |
| k |
| 3 |
| 6 |
| MQ |
| FQ |
解答：
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
+
=1，（a＞b＞0）
由题意，得
，解得a=2，c=1，b2=4-1=3，
∴椭圆方程为
+
=1．
（Ⅱ）∵|
|=2|
|，∴
=2
，或
=2
，
当
=2
时，点Q分
的比为2，
∴xQ=-
，yQ=
，
又点Q在椭圆上，
代入椭圆方程，得
+
=1，解得k=±2
．
当
=2
时，xQ=-2，yQ=0，此时k=0．
∴直线l的斜率为±2
或0．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由题意，得
|
∴椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）∵|
| MQ| |
| QF |
| MQ |
| QF |
| MQ |
| FQ |
当
| MQ |
| QF |
| MF |
∴xQ=-
| 2 |
| 3 |
| k |
| 3 |
又点Q在椭圆上，
代入椭圆方程，得
(-
| ||
| 4 |
(
| ||
| 3 |
| 6 |
当
| MQ |
| FQ |
∴直线l的斜率为±2
| 6 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
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