Question

5．已知函数f（x）=e^x-ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x²＜e^x．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求a的值及函数f（x）的极值；
（2）构造函数g（x）=e^x-x²，求函数的导数，研究是的单调性和极值即可证明当x＞0时，x²＜e^x．

解答 解：（1）因为f（x）=e^x-ax，
所以f（0）=1，即A（0，1），
由f（x）=e^x-ax，得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，得a=2．
所以f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
令f′（x）=0，得x=ln2．当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以当x=ln2时，f（x）取得极小值，且极小值为f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4，f（x）无极大值．
（2）令g（x）=e^x-x²，则g′（x）=e^x-2x．
由（1）得g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，
故g（x）在R上单调递增，又g（0）=1＞0，
因此，当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，
即x²＜e^x．

点评 本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义建立方程关系求出a的值是解决本题的关键．利用构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值是证明不等式的常用方法．