Question

设函数f（x）=x-

1

x

，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，-1）
• D、不能确定

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先将已知代入条件，将函数原式化简成2mx2＞m+

1

m

恒成立，x＞1时．然后讨论m的符号将m分离出来，然后研究函数的最值．

解答： 解：由f（mx）+mf（x）＞0得mx-

1

mx

+mx-

m

x

＞0，对任意x∈[1，+∞）恒成立．
整理得2mx＞(m+

1

m

)

1

x

恒成立，即2mx2＞m+

1

m

恒成立．
显然m≠0，
①当m＞0时，2x2＞1+

1

m2

，显然当x=1时y=2x²最小为2，即1+

1

m2

＜2，
解得m＞1或m＜-1．所以m＞1符合题意．
②当m＜0时，1+

1

m2

＞2x²，此时y=2x²无最大值，所以不成立．
综上，所求实数m的范围是m＞1．
故选B．

点评：本题考查了不等式恒成立问题的思路，一般是转化为函数的最值问题求解，能分离参数的尽量分离参数．