Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=aqⁿ+b（a≠0，q≠0，1），求证：数列{a_n}为等比数列的充要条件是a+b=0．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：充分性：当a+b=0时，a₁=S₁=a（q-1）．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．当n=1时也成立．于是数列{a_n}为等比数列；必要性：当n=1时，a₁=S₁=a（q-1）．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．由p≠0，p≠1．知∴

an+1

an

=

an+1

an

=

aqn(q-1)

aqn-1(q-1)

=q故a+b=0．由此得到a+b=0是数列{a_n}为等比数列的充要条件．

解答： 证明：充分性：当a+b=0时，a₁=S₁=aq+b=a（q-1）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．
当n=1时也成立．
于是

an+1

an

=

aqn(q-1)

aqn-1(q-1)

=q（n∈N₊），
即数列{a_n}为等比数列．
必要性：当n=1时，a₁=S₁=aq+b．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．
∵q≠0，q≠1．
∴

an+1

an

=

an+1

an

=

aqn(q-1)

aqn-1(q-1)

=q（n∈N₊），
∵{a_n}为等比数列，
∴

a2

a1

=

an+1

an

=q，

aq2-aq

aq+b

=q，
即aq-a=aq+b．∴a+b=0．
综上所述，a+b=0是数列{a_n}为等比数列的充要条件．

点评：题考查等比数列的性质和应用，考查充要条件的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．