Question

已知过椭圆

x2

a2

+y²=1（a＞1）的顶点B（0，-1），做椭圆的弦AB，求|AB|的最大值，并求此时的A的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由点A是椭圆

x2

a2

+y²=1（a＞1）上的一点，可设A（acosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．利用两点之间的距离公式可得|AB|²=（acosθ）²+（sinθ+1）²=(1-a2)(sinθ-

1

a2-1

)2+1+a²-

1

1-a2

．对a分类讨论利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：由点A是椭圆

x2

a2

+y²=1（a＞1）上的一点，
可设A（acosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．
∴|AB|²=（acosθ）²+（sinθ+1）²
=a²cos²θ+sin²θ+2sinθ+1
=(1-a2)(sinθ-

1

a2-1

)2+1+a²-

1

1-a2

．
当1＜a²＜2时，

1

a2-1

＞1，当sinθ=1时，|AB|²取得最大值4，即AB|取得最大值2，此时A（0，1）．
当a²≥2时，0＜

1

a2-1

≤1，当sinθ=

1

a2-1

时，|AB|²取得最大值1+a²-

1

1-a2

，即AB|取得最大值

a2 a2-1

a2-1

，此时A(

±a a2-2

a2-1

，

1

a2-1

)．

点评：本题考查了椭圆的参数方程、两点之间的距离公式、同角三角函数的基本关系式、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力 与计算能力，属于难题．