Question

选修4-5不等式选讲
设函数f（x）=|3x+6|+1
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象；
（Ⅱ）若不等式，f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数图象的作法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先去掉绝对值符号，转化为一次函数的图象画法问题；
（2）在同一坐标系中画出f（x）和y=ax的图象，利用旋转的方法得到两函数图象无交点时a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由于f(x)=

3x+7，x≥-2 -3x-5，x＜-2

．
则函数的图象如图所示（黑线部分）：

（Ⅱ） 由函数y=f（x）（黑线部分）与函数y=ax（蓝线部分）的图象（见上图）可知，
当且仅当-

1

2

≤a≤3时，即直线从图中①的位置逆时针绕原点旋转到与直线y=3x+7平行的位置时，函数y=ax的图象与函数y=f（x）图象没有交点，
所以不等式f（x）≥ax恒成立．
则a的取值范围为[-

1

2

，3]．

点评：本题考查了分段函数的图象的画法，以及利用图象解决不等式恒成立问题的思路，即作出图象，理解a的几何意义，利用旋转完成解题．