Question

4．已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，s₄-b₄=10
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，列方程，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
（2）求出c_n=（3n-1）•2ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q．
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，S₄=8+6d．
由条件，得方程组$\left\{\begin{array}{l}{2+3d+2{q}^{3}=27}\\{8+6d-2{q}^{3}=10}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{q=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=3n-1，b_n=2ⁿ，n∈N^*．                   
（2）证明：由题意可得${T_n}=（{3×1-1}）•{2^1}+（{3×2-1}）•{2^2}+（{3×3-1}）•{2^3}+…+（{3n-1}）•{2^n}$①
$2{T_n}=（{3×1-1}）•{2^2}+（{3×2-1}）•{2^3}+（{3×3-1}）•{2^4}+…[{3（{n-1}）-1}]•{2^n}+（{3n-1}）•{2^{n+1}}$②
由①-②，得$-{T_n}=2×{2^1}+3×{2^2}+3×{2^3}+…+3×{2^n}-（{3n-1}）•{2^{n+1}}$
=4+3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴${T_n}=8+（{3n-4}）•{2^{n+1}}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．