Question

如图，F₁，F₂是椭圆C₁：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）与双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的公共焦点，C₁，C₂的离心率分别记为e₁，e₂．A是C₁，C₂在第一象限的公共点，若C₂的一条渐近线是线段AF₁的中垂线，则

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=（　　）

• A、2
• B、

  5

  2

• C、

  7

  2

• D、4

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论．

解答： 解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，则
由双曲线的定义|AF₁|-|AF₂|=2m  ①
由椭圆的定义|AF₁|+|AF₂|=2a  ②
∵C₂的一条渐近线是线段AF₁的中垂线，
∴∠F₁AF₂=90°，故|AF₁|²+|AF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|AF₁|²+|AF₂|²=2a²+2m²④
将④代入③得a²+m²=2c²，即

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=2
故选：A．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率e₁与双曲线心率e₂满足的关系式，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．