Question

1．若a≥0，b≥0，且当x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y≤0\\ x+y≤2\end{array}\right.$时，恒有ax+by≤1成立，则以a，b为坐标的点P（a，b）所构成的平面区域的面积等于（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{8}$

Answer 1

分析 先依据不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y≤0\\ x+y≤2\end{array}\right.$，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件：“恒有ax+by≤1”得出关于a，b的不等关系，最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y≤0\\ x+y≤2\end{array}\right.$作出可行域如图，
令z=ax+by，
∵ax+by≤1恒成立，
即函数z=ax+by在可行域要求的条件下，z_max≤1恒成立．
当直线ax+by-z=0过点A（1，1）或点B（0，2）时，a+b≤1，2b≤1．
点P（a，b）形成的图形如图：

∴所求的面积S=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$$S=\frac{1}{2}×1×1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$．
故选：D．

点评 本题主要考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解，是中档题．