Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3sinx，-1）$\overrightarrow{b}$=（3cosx，2），x∈R．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求sin2x的值；
（2）设向量$\overrightarrow{c}$=（$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$），记f（x）=$\frac{1}{9}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，列出方程解出；
（2）求出f（x）的解析式并化简得f（x）=2sin²x+sinx-1，根据x得范围得出sinx的范围，利用二次函数的性质得出f（x）的最值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=9sinxcosx-2=0，即$\frac{9}{2}$sin2x-2=0，解得sin2x=$\frac{4}{9}$．
（2）f（x）=$\frac{1}{9}$（$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²）+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\frac{1}{9}$（9sin²x+1-9cos²x-4）+sinx+$\frac{1}{3}$=sin²x-cos²x+sinx=2sin²x+sinx-1=2（sinx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，∴sinx∈[-1，1]，
∴当sinx=-$\frac{1}{4}$，f（x）取得最小值-$\frac{9}{8}$，当sinx=1时，f（x）取得最大值2．
∴函数f（x）的值域是[-$\frac{9}{8}$，2]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，平面向量的数量积运算，正弦函数的性质，属于中档题．