Question

10．已知等差数列{a_n}满足：a₃=6，a₅+a₇=24，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-1}}$（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₃=6，a₅+a₇=24，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{2{a}_{1}+10d=24}\end{array}\right.$，解得a₁，d．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-1}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=6，a₅+a₇=24，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{2{a}_{1}+10d=24}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-1}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．