Question

1．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y-2=0在矩阵A=$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{2}\end{array}]$对应的变换作用下得到的直线仍为x+y-2=0，求矩阵A的逆矩阵A^-1．

Answer 1

分析 在直线x+y-2=0上取两点M（2，0），M（0，2）． 在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．推导出M′、N′的坐标，由题意，M′、N′在直线x+y-2=0上，列出方程组求出A=$[\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{0}&{2}\end{array}]$，由此能求出矩阵A的逆矩阵A^-1．

解答 解：在直线x+y-2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．M，N在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．
∵$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{2}\\{0}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}\\{2b}\end{array}]$，∴M′的坐标为（2，2b）；
$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{0}\\{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2a}\\{4}\end{array}]$，∴N′的坐标为（2a，4）．
由题意，M′、N′在直线x+y-2=0上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+2b-2=0}\\{2a+4-2=0}\end{array}\right.$．
解得a=-1，b=0．
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{0}&{2}\end{array}]$，
∵$[\begin{array}{l}{1}&{-1}&{\;}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{\;}&{0}&{1}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{-1}&{\;}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{\;}&{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{\;}&{1}&{\frac{1}{2}}\\{0}&{1}&{\;}&{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$．
∴A^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{\frac{1}{2}}\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$．

点评 本题考查矩阵的逆矩阵的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意矩阵初等变换的性质的合理运用．