Question

20．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的一段图象如图所示，△ABC的顶点A与坐标原点重合，B是f（x）的图象上一个最低点，C在x轴上，若内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且△ABC的面积满足S=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{12}$，将f（x）的图象向右平移一个单位得到g（x）的图象，则g（x） 的表达式为-cos（$\frac{π}{2}$x）．

Answer 1

分析 通过三角形的面积以及余弦定理集合函数的周期，求出函数的周期，得到函数的解析式，利用平移关系求出g（x）的表达式．

解答 解：由题意可得S=$\frac{1}{2}$•AC•1=$\frac{1}{2}$b，△ABC的顶点A与坐标原点O重合，B是f（x）的图象上一个最低点，
∴ccosA=$\frac{3T}{4}$ ①．
又12S=b²+c²-a²，∴6b=b²+c²-a²，由余弦定理知，6b=2bccosA，∴c•cosA=3 ②．
由①②得：c•cosA=3=$\frac{3T}{4}$，
∴T=4，
∴$\frac{2π}{ω}$=4，
∴ω=$\frac{π}{2}$，
∴函数f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，
将f（x）右移一个单位得到g（x）=sin[$\frac{π}{2}$（x-1）]=sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{2}$）=-cos（$\frac{π}{2}$x），
故答案为：-cos（$\frac{π}{2}$x）．

点评 本题考查三角函数解析式的求法，图象平移变换的应用，考查基本知识的应用，属于中档题．