Question

17．已知等比数列{a_n}满足a_n＞0，且a₅•a_2n-5=2²ⁿ（n≥3），求数列{log₂a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 由数列{a_n}为等比数列且a₅•a_2n-5=2²ⁿ（n≥3），可得$a_n^2={2^{2n}}$，又a_n＞0，可得a_n．再利用对数的运算性质、等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：由数列{a_n}为等比数列且a₅•a_2n-5=2²ⁿ（n≥3），可得$a_n^2={2^{2n}}$，
又a_n＞0，所以${a_n}={2^n}$．
则${S_n}={log_2}{a_1}+{log_2}{a_2}+…+{log_2}{a_n}={log_2}（{a_1}{a_2}…{a_n}）={log_2}{2^{1+2+…+n}}$
=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．