Question

7．如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面，G为△AOC的垂心．
（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；
（2）若PA=AB=2AC=2，点Q在线段PA上，且PQ=2QA，求三棱锥P-QGC的体积．

Answer 1

分析 （1）由OG⊥AC，OG⊥PA即可得出OG⊥平面PAC，故而平面OPG⊥平面PAC；
（2）利用公式V_P-QGC=V_G-PQC=$\frac{1}{3}{S}_{△PQC}$•GM计算体积．

解答 （1）证明：∵G为△AOC的垂心，∴OG⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，OG?平面ABC，
∴PA⊥OG．
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴OG⊥平面PAC．
又OG?平面OPG，
∴平面OPG⊥平面PAC．
（2）解：延长OG交AC于点M．
由（1）知OM⊥平面PAC，
即GM为点G到平面PAC的距离．
由已知可得，OA=OC=AC=1，
∴△AOC为正三角形，
∴$OM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．$GM=\frac{1}{3}OM=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
∵PA=2，PQ=2QA，∴PQ=$\frac{4}{3}$．
∴S_△PQC=$\frac{1}{2}PQ•CA$=$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×1$=$\frac{2}{3}$，
∴V_P-QGC=V_G-PQC=$\frac{1}{3}{S}_{△PQC}$•GM=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$×$\frac{{\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{27}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．