Question

8．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的渐近线将圆x²+y²-2x-4y+4=0平分，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，由圆的方程分析可得圆的圆心坐标，由题意分析可得双曲线的渐近线将圆x²+y²-2x-4y+4=0平分，则直线y=$\frac{b}{a}$x过圆心，即可得有$\frac{b}{a}$=2，即b=2a，由双曲线的几何性质可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，
则其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
圆x²+y²-2x-4y+4=0，其标准方程为：（x-1）²+（y-2）²=1，其圆心为（1，2），
若双曲线的渐近线将圆x²+y²-2x-4y+4=0平分，则直线y=$\frac{b}{a}$x过圆心，
则有$\frac{b}{a}$=2，即b=2a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意渐近线将圆x²+y²-2x-4y+4=0平分，即渐近线过圆的圆心．