Question

已知曲线y=ln

1

3x-a

过点M（1，b），且在点M处的切线与直线x-3y-2=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线在点M处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求a，b的值；
（2）求曲线在点M处的切线，以及两坐标轴的交点坐标即可求三角形的面积．

解答： 解：（1）直线x-3y-2=0的斜率k=

1

3

，则切线斜率k=-3，
即函数的f′（1）=-3，
∵y=ln

1

3x-a

，
∴函数的导数f′（x）=3（3x-a）•(-

1

(3x-a)2

)=-

3

3x-a

即f′（1）=-

3

3-a

=-3，解得a=2，
即函数为f（x）=ln

1

3x-2

，则b=ln1=0，
即a=2，b=0；
（2）∵b=0，∴M（1，0），
则曲线在点M处的切线为y=-3（x-1），
当x=0，解得y=3，
当y=0，解得x=1，
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=

1

2

×1×3=

3

2

．

点评：本题主要考查导数的几何意义以及切线方程的求解，求函数的导数是解决本题的关键．