Question

已知函数f（x）=sinx+acos²

x

2

，其中a为常数，且x=

π

2

是函数f（x）的一个零点．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用函数的零点确定函数的解析式，进一步求出函数的周期和单调区间．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论进一步利用定义域确定函数的值域．

解答： 解：（Ⅰ）x=

π

2

是函数f（x）的一个零点．
即x=

π

2

是方程f（x）=0的解．
f（

π

2

）=0
解得：a=-2．
所以：f（x）=sinx-2cos²

x

2

=

2

sin(x-

π

4

)-1，
函数的周期为：T=2π，
令：-

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得：-

π

4

+2kπ≤x≤

3π

4

+2kπ，
所以：函数的递增区间为：[-

π

4

+2kπ，

3π

4

+2kπ]；
（Ⅱ）由于：0≤x≤π，
所以：-

π

4

≤x-

π

4

≤

3π

4

，
sin(x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，
所以：-2≤f(x)≤

2

-1，
函数的值域为：f（x）∈[-2，

2

-1]．

点评：本题考查的知识要点：利用函数的零点确定函数的解析式，进一步确定函数的周期和单调区间．进一步根据函数的定义域求函数的值域．属于基础题型．