Question

已知函数f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求出切线斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）原方程等价于2x²-8lnx-14x=m，令h（x）=2x²-8lnx-14x，则原方程即为h（x）=m．因为当x＞0时原方程有唯一解，所以函数y=h（x）与y=m的图象在y轴右侧有唯一的交点．求出h（x）的导数，求出单调区间，得到极值，也为最值，即可得到m的值．

解答： 解　（1）因为f′(x)=2x-

8

x

，所以切线的斜率k=f'（1）=-6．
又f（1）=1，
故所求的切线方程为y-1=-6（x-1），即y=-6x+7．
（2）原方程等价于2x²-8lnx-14x=m，
令h（x）=2x²-8lnx-14x，则原方程即为h（x）=m．
因为当x＞0时原方程有唯一解，
所以函数y=h（x）与y=m的图象在y轴右侧有唯一的交点．
又h′(x)=4x-

8

x

-14=

2(x-4)(2x+1)

x

，且x＞0，
所以当x＞4时，h'（x）＞0；当0＜x＜4时，h'（x）＜0．
即h（x）在（4，+∞）上单调递增，在（0，4）上单调递减，
故h（x）在x=4处取得最小值，
又x＞0且x无限趋近0时，h（x）无限趋近正无穷大，
x无限趋近正无穷大时，h（x）也无限趋近正无穷大．
从而当x＞0时原方程有唯一解的充要条件是m=h（4）=-16ln2-24．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程、单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题．