Question

己知：f（x）=x³-2x²+x-1，
（1）求在点A（1，-1）处的切线方程．
（2）求f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出f′（1）即可得出切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．
（2）令f′（x）=0，解得x=

1

3

，1．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，得出单调区间，即可得出极值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-4x+1．
∴f′（1）=0，
∴函数在点A（1，-1）处的切线方程为y=-1．
（2）令f′（x）=0，解得x=

1

3

，1．
令f′（x）＞0，解得x＞1或x＜

1

3

；令f′（x）＜0，解得

1

3

＜x＜1．
∴函数f（x）在(-∞，

1

3

)，（1，+∞）单调递增；在(

1

3

，1)上单调递减．
∴当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值，f(

1

3

)=-

23

27

；当x=1时，函数f（x）取得极小值，f（1）=-1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、切线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．