Question

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（2+x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，并写出单调区间．

Answer 1

分析 （1）当x＞0，则-x＜0，由已知表达式可求得f（-x），由奇函数的性质可得f（x）与f（-x）的关系，从而可求出f（x）；
（2）根据函数的解析式，得出函数f（x）的图象，从而写出单调区间．

解答 解：（1）设x＞0，则-x＜0，
∵当x≤0时，f（x）=x（2+x），
∴f（-x）=-x（2-x）．
又f（x）是定义在R上的奇函数，即f（-x）=-f（x），
∴当x＞0时，f（x）=x（2-x）．
故函数f（x）的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（2+x），x≤0\\ x（2-x），x＞0\end{array}\right.$．
（2）

函数f（x）的单调递增区间为[-1，1]，单调递减区间为（-∞，-1）和（1，+∞）．

点评 本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，考查函数的图象与单调性，属中档题．