Question

8．已知a＞0，设命题p：函数y=lg（ax²-x+$\frac{a}{16}$）的定义域为R；命题q：当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数y=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{a}$恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，通过讨论p，q的真假，求出a的范围即可．

解答 解：由a＞0，命题p：函数y=lg（ax²-x+$\frac{a}{16}$）的定义域为R，
可知，△=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$＜0，解得a＞2．
因此，命题p为真时，a＞2．
对于命题q：当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数y=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{a}$恒成立，
即函数y=x+$\frac{1}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]时的最小值y_min＞$\frac{1}{a}$，
∵y_min=2，∴$\frac{1}{a}$＜2．又a＞0，∴a＞$\frac{1}{2}$．
因此，命题q为真时，a＞$\frac{1}{2}$．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
∴命题p与q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，可得a∈∅；
当p假q真时，可得$\frac{1}{2}$＜a≤2．
综上所述，a的取值范围为（$\frac{1}{2}$，2]．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查对数函数以及函数最值问题，是一道中档题．