Question

10．数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n（n∈N^*），则$\frac{{a}_{2017}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2016}}$=$\frac{1009}{1008}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n（n∈N^*），可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+2}$=2•$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，$\frac{{a}_{1}}{1+1}$=1．利用等比数列的通项公式可得：a_n=（n+1）•2^n-1．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+2}$=2•$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，$\frac{{a}_{1}}{1+1}$=1．
∴$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=2^n-1，即a_n=（n+1）•2^n-1．
设其前n项和为S_n，则S_n=2+3×2+4×2²+…+（n+1）•2^n-1．
∴2S_n=2×2+3×2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ．
∴-S_n=2+2+2²+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ=1+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-（n+1）•2ⁿ．
∴S_n=n•2ⁿ．
则$\frac{{a}_{2017}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2016}}$=$\frac{2018×{2}^{2016}}{2016×{2}^{2016}}$=$\frac{1009}{1008}$．
故答案为：$\frac{1009}{1008}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．