题目内容

△ABC中，AB=6，AC=3，M是线段BC上一点，且BC=3BM，若cos∠CAM=
1
8
，则BC=
 
．
考点：余弦定理
专题：计算题,解三角形
分析：可运用向量的方法先求出
AM
=
AC
+2
AB
1+2
=
1
3
AC
+
2
3
AB
，再由
AM
•
AC
运用数量积的定义得到
AB
•
AC
的方程，解得
AB
•
AC
=-
9
4
，再由数量积定义，得到cos∠CAB=-
1
8
，再由余弦定理即可得到．
解答： 解：由于BC=3BM，则
CM
=2
MB
，
则
AM
=
AC
+2
AB
1+2
=
1
3
AC
+
2
3
AB
，
|
AM
|2=
1
9
AC
2+
4
9
AB
2+
4
9
AB
•
AC
=1+16+
4
9
AB
•
AC
，
AM
•
AC
=
1
3
AC
2+
2
3
AB
•
AC
=3+
2
3
AB
•
AC
，
又
AM
•
AC
=|
AM
|•3•cos∠CAM
=
17+
4
9
AB
•
AC
•
3
8
，
即有3+
2
3
AB
•
AC
=
17+
4
9
AB
•
AC
•
3
8
，
解得
AB
•
AC
=-
9
4
，
即有6×3×cos∠CAB=-
9
4
，
即cos∠CAB=-
1
8
，
则BC2=62+32-2×6×3×cos∠CAB
=36+9+
9
2
=
99
2
，
则BC=
3
22
2
．
故答案为：
3
2
22
点评：本题主要考查余弦定理及运用，考查运用向量法解决三角形问题，注意运用向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}：
a1-1
2
+
a2-1
22
+…+
an-1
2n
=n2+n(n∈N*)，则数列{an}前n项和Sn=
 
；．
已知x-
3
y+4=0，则x2+y2的最小值等于
 
．
已知函数f（x）=x+
1
x

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（Ⅱ）用定义证明f（x）在[1，
3
]上是增函数；
（Ⅲ）求出函数f（x）在[1，
3
]的最值．
已知函数f（x）=
3
x
-4，求证：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
已知函数f（x）为奇函数，当x≥0，f（x）=
1
ex+2011
+a，则f(ln
1
2
)=
 
．
函数f（x）=2cos2x+sin2x-1，给出下列四个命题：
（1）函数在区间[
π
8
，
5π
8
]上是减函数；
（2）直线x=
π
8
是函数图象的一条对称轴；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=
2
sin2x的图象向左平移
π
4
而得到；
（4）若 x∈[0，
π
2
]，则f（x）的值域是[0，
2
]．
其中正确命题的个数是（　　）
A、1B、2C、3D、4
若函数f（x）=4x2-kx-8在（5，20）上有单调性，则实数k的取值范围是（　　）
A、[20，80]
B、（-∞，20]∪[80，+∞）
C、[40，160]
D、（-∞，40]∪[160，+∞）
已知函数f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+1．
（Ⅰ）设集合A={x|f（x）=7}，集合B={x|g（x）=4}，求A∩B；
（Ⅱ）设集合C={x|f（x）≤a}，集合D={x|g（x）≥x2}，若D⊆C，求a的取值范围．

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