Question

已知函数f（x）=x+

1

x

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（Ⅱ）用定义证明f（x）在[1，

3

]上是增函数；
（Ⅲ）求出函数f（x）在[1，

3

]的最值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，并加以证明；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在[1，

3

]上是增函数；
（Ⅲ）根据函数的单调性的性质即可求出函数f（x）在[1，

3

]的最值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）是奇函数：
证明：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
则f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
则函数f（x）是奇函数．
（Ⅱ）1≤x₁＜x₂≤

3

，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-x₂-

1

x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=（x₁-x₂）•

x1x2-1

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂≤

3

，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在[1，

3

]上是增函数；
（Ⅲ）∵f（x）在[1，

3

]上是增函数，
∴函数f（x）在[1，

3

]的最大值为f（

3

）=

3

+

1

3

=

4 3

3

，
最小值为f（1）=1+1=2．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．综合考查函数的性质．