Question

已知数列{a_n}：

a1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1

2n

=n2+n(n∈N*)，则数列{a_n}前n项和S_n=

 

；．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得

an-1

2n

=2n，从而a_n=1+n•2ⁿ⁺¹，进而S_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹+n，由此利用错位相减法能求出数列{a_n}前n项和S_n．

解答： 解：∵

a1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1

2n

=n2+n(n∈N*)，①
∴

a1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1-1

2n-1

=（n-1）²+（n-1），②
①-②得：

an-1

2n

=2n，
∴a_n-1=n•2ⁿ⁺¹，
∴a_n=1+n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹+n，
设T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，③
则2T_n=1×2³+2×2⁴+…+n×2ⁿ⁺²，④
③-④，得-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²
=

4(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺²，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+n+4．
故答案为：（n-1）•2ⁿ⁺²+n+4．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．