题目内容
14．若函数f（x）为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1、x2、…、xn，总有f（x1）+f（x2）+…+f（xn）≤nf（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$），现已知函数f（x）=sinx在[0，$\frac{π}{2}$]上是凸函数，则在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ |
分析 利用凸函数对于D上的任意n个值x1、x2、…、xn，总有f（x1）+f（x2）+…+f（xn）≤nf（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$），将函数f（x）=sinx在[0，$\frac{π}{2}$]，sinA+sinB+sinC$≤3sin\frac{A+B+C}{3}$，得到所求．
解答 解：由已知凸函数的性质得到sinA+sinB+sinC$≤3sin\frac{A+B+C}{3}$=3sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
所以在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
故选D．
点评 本题考查了新定义问题中凸函数的性质的运用；明确新定义是解答的关键．
练习册系列答案
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2．
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）| A． | $\frac{4}{3}$+π | B． | 4+π | C． | $\frac{4}{3}$+2π | D． | 4+2π |
9．
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（$\frac{π}{6}$，-1）对称，则m的最小值是（ ）
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（$\frac{π}{6}$，-1）对称，则m的最小值是（ ）| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{5}{6}$π | D． | $\frac{2π}{3}$ |